魔物獵人 世界 Iceborne 節彈運實際效果數理統計

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作者:Navi醬
來源:NGA

警告:本帖會涉及一些數學知識,覺得有點偏硬核的請謹慎食用。
那麼第一個問題:什麼是節彈運?我們以真節彈為例,解包給出的官方節彈率是30%,也就是說發射一顆子彈有30%的概率不消耗該顆子彈,可認為是等效擴充了彈夾和總彈容。那麼真節彈能為我們的彈夾/總彈容在數學期望上擴增多少呢?
在這裡我們將考慮一個很大的樣本,使得其可以大致看做是系統。也就是說我們發射的子彈足夠多,那麼利用真節彈擴增的彈藥會趨近於哪個值呢。我們不妨把這些“足夠多”的子彈歸一化,看作是一顆子彈,那麼簡單的,我們打出1發子彈的概率是0.7,打出2發子彈的概率是0.3*0.7,打出i發子彈的概率是0.3^(i-1)*0.7。
數學期望就是這些概率和打出子彈數的加權和,計算結果如下,這個計算是簡單的等差數列和等比數列之積的求和以及極限,準備高考的同學可以作為網課練習題手算(不是)。
大樣本節彈數數學期望

可以看到這個值實際上就等於1/0.7,和之前普遍認為的擴容42.9%相符合。
這樣我們就得出結論,在實際戰鬥中,擴容量大於42.9%意味著你的節彈超過了系統平均值,被認為“節彈運強”,小於則是“節彈運弱”,而聯動貼的節彈擴增率是126/56=225%,遠遠高於42.9%,那麼是不是可以認為這就一定離譜了呢?還不能!
道理很簡單,大家想一下,如果只有一發子彈,那麼擴容量就算到300%,也就是說打出三發子彈,概率也高達0.3^2*0.7=6.3%,這絕對說不上是離譜。其實大家也應該發現了,這就是樣本量的問題,樣本量越大會導致樣本和系統的偏差越小,越能代表系統也就意味著出現和系統值較大的偏差的概率更低。
這裡科普一下什麼叫抽樣誤差,在這裡我們不考慮抽樣方式帶來的誤差(畢竟遊戲裡射子彈也沒什麼人為的偏向性)。在維琪百科的定義是:
抽樣誤差的定義 …
在統計中,當從總體的子集或樣本中估計總體的統計特徵時,會發生抽樣誤差。由於樣本不包括總體的所有成員,因此樣本的統計量(例如均值和四分位數)通常與整個總體的特徵(稱為參數)不同。例如,如果一個人測量一個國家的一百萬人口中一千人的身高,那麼該國的平均身高通常不同于該國所有一百萬人的平均身高。
而這裡的問題則是從總體樣本(因為卡普空設定了系統平均值,這是恒定不變的,可以認為系統樣本量=無窮)中抽取了126個樣本,該樣本是否能代表總體呢?答案是,至少在目前的學術界的科研實踐裡面,這樣的樣本量產生的抽樣誤差已經足夠小。
好,那麼接下來我們來討論,聯動貼中的“節彈運”是否能夠通過概率計算的方式來衡量呢?
首先我們考慮第一個角度,我們把這個問題看成是“在發射126發子彈中觸發至少70次節彈的概率是多少”,這個問題是複合二項分佈的條件的(具體條件不介紹啦,有興趣可以自己去查一下,到處都有的)因此我們可以計算:
觸發至少70次節彈 …

概率是十億分之2.2。當然這裡的計算是有點小問題的,因為這樣的計算包含了節彈數少於39的情況——而這是不可能的——因為如果節彈數少於39,那麼總消耗子彈會大於獵人背包包括調和總共的榴彈上限,因此我們實際需要計算的問題應該是:“在節彈至少觸發39次的情況下,節彈至少觸發70次的概率是多少”,這是典型的條件概率問題,答案就是我們之前計算的概率除以“節彈至少觸發39次的情況”,而直接用這個條件概率也是有問題的,因為這樣等於默認了聯動貼的節彈數大於39,相當於白送了一個概率,因此還要再乘“節彈至少觸發39次的概率”,最終結果是不變的。
接下來我們討論第二種角度“給定56發子彈,能發射超過126發子彈的概率是多少”,假設發射的子彈為n, i>=56, 這個問題是典型的插板問題,我們先要把i切分為56個部分,每個部分至少為1,那麼切分情況為C(i-1, 55),每種的概率為C(i-1, 55)*0.3^(n-56)*0.7^(56),累加級數和為:
56發子彈至少發射126次的概率 …

答案是十億分之1.39。
或者我們再換種思路,“如果要發射126顆子彈,需要消耗56顆子彈及以下的概率”,演算法和上一題類似。
發射126顆子彈需要至多56顆子彈的概率 …

答案是十億分之1.2。
上面三種模型的角度算出三種答案,沒有一個方法是錯的,但是這些方法都只能用來估計這個概率,只是讓我們有一個初步的概念,“實錘”的話是不合適用這樣的方法的。
那麼在科研中我們為了說明這個“節彈運”值和系統平均值有統計顯著差異一般用什麼辦法呢,那就是卡方檢驗了。卡方檢驗的維琪百科詞條:
卡方檢驗是一種統計量的分佈在零假設成立時近似服從卡方分佈的假設檢驗。在沒有其他的限定條件或說明時,卡方檢驗一般指代的是皮爾森卡方檢驗。在卡方檢驗的一般運用中,研究人員將觀察量的值劃分成若干互斥的分類,並且使用一套理論嘗試去說明觀察量的值落入不同分類的概率分佈的模型。
我們可以把觸發節彈和消耗子彈定義為“互斥事件”,那麼就可以做卡方檢驗了。原貼165樓的大佬已經算過了,我這就不花時間另外去算,把圖貼在這兒(如果crux10086大佬覺得不合適我可以刪掉再自己算一遍)
卡方檢驗 …

得出的p值是3.9e-9。我們怎麼理解這個結果呢,就是說我們的原假設是:聯動貼的“節彈運”符合系統分佈。但是在學術界一般把p值小於0.05認為是“否定原假設”,我們有理由認為原假設是不成立的。
綜上所述,根據不同的概率模型推斷,原貼的“節彈運”概率都是低到不正常的,而且根據卡方檢驗,原貼的“節彈運”和系統的分佈具有統計學顯著差異,因此我們認為原貼擬被錘的物件很有可能修改了真節彈的概率。

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